要理解知觉 或需信奉数学界的“叛徒”

人类的大脑是一个奇迹，也是一个演化之谜：860亿左右的神经元被塞进仅仅1/4个充气足球大小的空间内；从随手刷刷Instagram到将人们送上太空——我们所做的任何事都依赖于这些神经元形成的网络。但一直悬而未决的问题是——我们缺乏对这些网络结构更深刻的理解。 知觉仍然是个特别令人伤脑筋的问题：人类的大脑是如何把泛滥的输入信号（光子、气味分子、声波、皮肤上的感觉）转化为一种精确的心理模拟的？比如说，神经网络如何表征巧克力的气味？ 最近的研究表明：数学也许能够帮助我们理清这些问题。为了更好地描述那些参与知觉和其他认知活动的复杂网络，一些研究者求助于双曲几何（hyperbolic geometry）。和其他的几何学类别一样，它是一套关于空间、距离和连接的法则。但是不同于大多数人在高中学习的（或者说厌恶的）欧氏几何（Euclidean geometry），双曲几何描述的是：如果空间在每一处都是弯曲的，它们是通过什么方式连结起来的。

“几何之父”欧几里得

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“一直以来，双曲几何在生物学领域都没有得到重视。”来自加州拉霍亚的索尔克生物研究所（Salk Institute for Biological Studies）的塔季扬娜·夏普（Tatyana Sharpee）说。在过去的几年里，对嗅觉系统结构的研究引导着她走向双曲几何学。但我们的嗅觉还只是个开端；她认为同样的方法也可以推广到其他的感觉通道和过程中。 如果像夏普这样的研究者是对的，那么要理解心智，我们需要准备好信奉双曲几何的教义——当它们首次亮相时，近乎是数学世界的异端。

无底之夜的开端

2000多年前，被称为“几何之父”的希腊数学家欧几里得在其专著《几何原本》（Elements）中总结出了一系列的法则。欧氏几何的这些法则给平面的、应用的、物理的世界提供了近似的描述，并且在日常生活中也适用。一直以来它指导着我们跨越山海、建起高楼、驾车驰骋——通常我们以为世界正是遵循着这些法则运行的。 但问题出在“平行公设”（欧几里得的第五公设，Euclid’s Fifth Postulate）。在原始版本中，它提出如果一条直线和其他两条直线相交，并且这些相交所形成的同旁内角*（interior angles on the same side）的加和小于180度，那么另外的那两条直线一定会在某一点交会（广为人知的是“平行公设”的简略版本：“平行线永不相交”）。也正是在“平行公设”下，我们得到了“勾股定理”，并且证明了三角形的内角和是180度。 *译者注：当一条直线与另外两条直线相交时，位于直线一侧，并且处在两条直线之间的角一共有两个。这时，称这两个角互为同旁内角。 我们一般认为一条公设应该是不证自明的，但在这方面“平行公设”命中了数学家们的要害。它似乎在直觉上并不是那么有说服力——甚至欧几里得在《几何原本》中的大多数命题也都没有援引“平行公设”。学者们花费了上千年来攻克这一令他们头疼的问题，终于，在19世纪早期，他们开始发问：如果“平行公设”不一定成立呢？ 这一问改变了一切。他们意识到违反“平行公设”并不是意气用事，而是开启了一扇大门——引进了仍然保持着自洽的新的几何学。

匈牙利数学家亚诺什·鲍耶挑战欧几里得在2000多年前提出的法则

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打破“平行公设”的想法吸引了当时包括卡尔·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss）和尼古拉·罗巴切夫斯基（Nikolai Lobachevsky）在内的很多大数学家。其中最值得一提的人物是亚诺什·鲍耶（János Bolyai），一位胸怀抱负的匈牙利年轻数学家，他是首批为这一新的几何学制定规则的人之一。在1820年，他想到了一个激进的方法来挫败欧几里得。亚诺什意识到将“平行公设”的条件放宽打开了一扇通往一个奇异的、非欧几何（non-Euclidean geometries）世界的窗户。 他的父亲法卡斯（Farkas）并不开心，说出了我们一般不会从一个数学家又或者是从一个父亲的嘴里听到的话。 “看在上帝的面子上，放弃吧。”法卡斯给亚诺什写信说。 他在信里继续写道：“憎恶这种想法吧（就像憎恶淫荡的性交一样），它会夺走你所有的闲暇、你的健康、你剩余的生命，还有你生活中全部的幸福。”法卡斯也是一名数学家，并且是高斯终生的朋友，他提到高斯也曾经挑战过欧几里得。“我已去丈量过那无底之夜，然后我生活中所有的光明和欢乐全都熄灭于此。” 尽管父亲所给的鼓励仅此而已（如果算得上是鼓励的话），亚诺什却并未就此罢休，继续为“非欧几何”（现如今我们这样称呼它）制定规则。在欧氏几何中，三角形的内角加和是180度并且平行线永不相交。在非欧几何中却不是这样。球面几何（Spherical geometry）就是一个例子——如果你在球面上画一个三角形（就例如将北极、檀香山*和迈阿密三点连起来），它的内角和会超过180度。 双曲几何是另一种著名的非欧几何。一个跨越了三维空间的双曲平面，看上去并不是平的；它看上去更像是一块品客薯片或是马鞍，处处都是弯曲的。如果你站在一个双曲平面上朝某个方向走一步，你会升高；如果你转90度再走一步，你又会下降。在双曲空间内，一个三角形的内角和小于180度。

回廊与非欧视觉

回溯到100多年前，一项濒临被忘却的研究曾提出双曲几何有助于解释视知觉过程。1902年，德国科学家F·希勒布兰德（F.Hillebrand）开展了平行线实验（alley experiment），10年后，W·布卢门费尔德（W.Blumenfeld）进行了重复实验*。实验在黑暗环境中进行，被试的头部被固定住并且目视前方。呈现给被试的刺激是两条末端固定（并且固定端点关于被试的视线呈轴对称）的发光的线状刺激（见下图所示，E代表固定的端点）。被试被要求完成两种任务：（1）平行任务（parallel），被试调整刺激使得它们呈相互平行的直线；（2）距离任务（distance），被试调整刺激使得两条线处处间隔相等。在实验的最后，被试就像是向一条小巷的中间放眼望去（这也是实验的命名由来，alley experiment可以直译为小巷实验）。 *译者注：此处对原文有所修改，以便读者理解实验过程。参考论文 ：Zajaczkowska, A. (1956). Experimental test of Luneburg’s theory. Horopter and alley experiments. JOSA, 46(7), 514-527.

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布卢门费尔德的平行线实验。实验结果发现被试排列的平行直线实际上是曲线；并且在平行任务下得到的曲线比在距离任务下得到的曲线更接近视线。

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Zajaczkowska, A. (1956). Experimental test of Luneburg’s theory. Horopter and alley experiments. JOSA, 46(7), 514-527.

但这些实验揭示出一个悖论：被试依靠自己的知觉将一些线判断为相互平行的直线，但实际上它们既不直又不平行，而是一条一条的曲线。在20世纪40年代，德裔数学家鲁道夫·吕内堡（Rudolf Luneburg）在达特茅斯眼科研究所（Dartmouth Eye Institute）完成了一项工作，它可以帮助我们理解为什么对平行线的知觉和现实之间存在分离。他发现通过双眼视觉，我们的知觉会形成一个描述我们周遭环境（包括事物的形状和位置）的三维地图。他试图找到一个矩阵来建立物理的真实世界和我们所看到的世界之间的映射关系。

在20世纪，双曲几何成为了一种艺术灵感来源：例如，荷兰艺术家M.C. 埃舍尔（M.C. Escher）在其作品中描绘了双曲几何的模型。如今，来自康奈尔大学的数学家戴娜·泰米娜（Daina Taimina）遵循这种创作传统，用钩针编织双曲空间的模型，通过这种方式，每个人都能将它拿在手上摆弄。

吕内堡等人得出结论：关于知觉的法则是非欧式的，而且能被双曲几何更好地描述。在数十年后的1983年，科学哲学家帕特里克·海兰（Patrick Heelan）也论证了双曲视觉空间的存在；海兰还指出像保罗·塞尚（Paul Cézanne）、文森特·梵高（Vincent van Gogh）和约瑟夫·马洛德·威廉·特纳（Joseph Mallord William Turner）这些画家都在他们的作品中描绘了双曲结构。

嗅觉的几何学

眼下，这事还没完。研究者继续探究知觉网络的结构，一些近来的实验证据支持视觉空间的确是非欧式的。在一项2018年的研究*中，研究者报告说人们认为那些用非欧几何的法则创造出的图像比那些用欧式几何的法则所创造出的图像（就是我们在中学深信不疑地拿来分析的那些）要更加真实。 夏普说夜空也为双曲知觉提供了有力的证据。我们把黑暗中的宇宙看成是呈圆顶状的，但天文距离被扭曲了。她提到，孩子们伸手去够月亮是因为它看上去近到触手可及，但是“距离是被压缩的”。 而这可能就是解开知觉的双曲性质之谜的钥匙：这一性质只出现在环绕式的大尺度内。“在小尺度内的任何曲线几何都是欧式的。”她如是说。由纽瓦克市、纽约市以及奈阿克*三点形成的三角形是遵从着欧式法则的。“这符合地平假设。但如果是从纽约到伦敦再到墨尔本，那就不同了。”她说道。 这是她的嗅觉地图*的中心思想，因为从复杂程度来讲，嗅觉地图十分庞大。我们很容易假设具有相似分子结构的嗅觉分子闻起来也差不多（这就好比认为我们将平行线知觉为是平行的）。但夏普的发现却并非如此。在实验中被试被要求把相似的气味分在同一组，随后夏普分析了实验得到的结果和常见气味的化学结构。 她的发现表明：人类大脑对气味分组的依据是它们通常一起出现的频率，而不是它们的分子组成。当她将实验中得到的各组气味绘制成嗅觉地图，夏普发现具有相似分子结构的气味之间的距离最符合双曲几何（而不是欧式几何）中的距离概念。她的工作说明——如果将知觉信息的组织结构投入一种弯曲的空间内来看，我们也许能够更多地了解大脑是如何组织知觉信息的。

- Andrey Kuzmin/Shutterstock -

双曲几何，不入流的数学，除了模拟大脑知觉的复杂结构以外还有其他用武之地。在一篇即将发表的论文*中，巴塞罗那的物理学家们建立了跨多物种的动物大脑网络模型。他们发现某个神经元未必会和与它空间距离最近的神经元相互通讯（即依照欧氏几何你可能会期待发生的情况），而是遵循一种不同的、更加奇异的几何法则形成中继网络。他们在论文中报告，双曲空间给各物种脑内的连接网络“提供了近乎完美的导航图”。双曲几何提示了“对于大脑的一种新的制图学”，他们说道。类似地，一些计算机科学家也注意到双曲几何提供了一种吸引人的数据组织方法，这种方法可以用于组织机器学习中所需要的大数据库。 “双曲几何是一种对大脑结构的复杂性非常自然的表征方式。” 安东尼·阿拉德（Antoine Allard）如是说，他是来自位于魁北克的拉瓦尔大学的物理学家，博士后期间曾在巴塞罗那大学从事跨物种研究。 生于无底之夜的数学界叛徒，还真不赖。